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By Dirk Ferus

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N , so ist DA det(B) gerade die Summe der Diagonalelemente der Matrix B adj(A), die sogenannte Spur dieser Matrix: DA det(B) = Spur(B adj(A)). Wir merken noch an: 60 1. Ist A = E, so ist nach (22) evjk = det(e1 , . . , ej−1 , ek , ej+1 , . . , en ) = δjk , also adj(E) = E und DE det(B) = Spur(B). (23) 2. Allgemein gilt nach (22) n n avik akj = det(a1 , . . , ai−1 , k=1 akj ek , ai+1 , . . , an ) k=1 = det(a1 , . . , ai−1 , aj , ai+1 , . . , an ) = δij det(A), also adj(A)A = det(A)E. Ist det A = 0, so ist A also invertierbar und adj(A) = det(A)A−1 .

Allerdings sind sie alle ¨aquivalent: Die durch sie definierten Metriken liefern alle dieselben offenen Mengen, dieselben konvergenten Folgen, dieselben stetigen Abbildungen. Um u ¨ber Offenheit, Konvergenz oder Stetigkeit in endlichdimensionalen R-Vektorr¨ aumen zu sprechen, kann man eine beliebige Norm w¨ahlen. Weil es aber egal ist, welche man w¨ ahlt, kann man eben unabh¨angig von einer solchen Wahl u ¨ber Offenheit, Konvergenz oder Stetigkeit reden. Der Rn besitzt eine Standardbasis und eine Standardnorm, die die Standardmetrik d2 liefert.

Widerspruch zu q ∈ J ⊂ U ∪ V . 30 Sei J ⊂ R zusammenh¨ angend. Seien p < q < r mit p, r ∈ J. W¨are q ∈ / J, so w¨are J ⊂ ] − ∞, q[ ∪ ]q, ∞[, also J ⊂ ] − ∞, q[ oder J ⊂ ]q, ∞[ im Widerspruch dazu, dass p in der einen, q in der anderen dieser Mengen liegt. 5 Stetige Abbildungen • Nachdem der Konvergenzbegriff in metrischen R¨aumen erkl¨art ist, ist es leicht, auch die Stetigkeit von Abbildungen solcher R¨aume zu erkl¨aren. • Wir machen uns mit der Bedeutung dieses Begriffes in verschiedenen einfachen Situationen vertraut und formulieren Rechenregeln f¨ ur stetige Abbildungen.

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Analysis II [Lecture notes] by Dirk Ferus

by Donald

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