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By Dirk Ferus

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E. annehmen, ˜ . Daher ist nach dem dass (N ∩ W ) ∩ Wi = ∅ f¨ ur alle i ∈ N. Dann liegen alle Wi in W Schrankensatz h(Wi ) = h(W (pi , ri )) ⊂ W (h(pi ), M ri ). Damit ist h(N ∩ W ) ⊂ W (h(pi ), M ri ) und µn (W (h(pi ), M ri ) = M n µn (Wi ) ≤ M n . Also ist h(N ∩ W ) eine µn -Nullmenge. Wir betrachten jetzt das oben angesprochene Problem der Volumenverzerrung zun¨achst f¨ ur (lineare) Isomorphismen h : Rn → Rn . Nach linearer Algebra (vgl. 3) ist jeder Automorphismus von Rn das Produkt endlich-vieler elementarer Automorphismen.

Nach Satz 53 ist (tanh fi ) eine Folge messbarer Funktionen, die φ-konvergent ist gegen tanh f . Nach dem 1. Fall ist tanh f messbar. Dann ist aber auch f = tanh−1 ◦ tanh ◦f messbar. Bemerkung. Langsam sehnt man sich nach einem Beispiel einer nicht messbaren Funktion. Solche sind sehr schwer anzugeben, vgl. Beispiel 74. Alle “halbwegs anst¨andigen” Funktionen sind messbar. f Durch vertikales und horizontales Stutzen“ ” wird aus einer messbaren Funktion f eine integrierbare Funktion f˜, und das ist charakteristisch f¨ ur messbare Funktionen: A ~ f K -A Satz 57 (Messbarkeit und Integrierbarkeit 2).

Definition 76. F¨ ur p ∈ Rn und r > 0 sei W (p, r) := (x1 , . . , xn ) x−p ∞ = sup |xi − pi | ≤ r 1≤i≤n die abgeschlossene Vollkugel um p vom Radius r in der sup-Norm. Lemma 77 (Aussch¨ opfungslemma). Seien G ⊂ Rn offen und r > 0. Dann gibt es eine Folge fast-disjunkter, kompakter W¨ urfel (Wi )i∈N mit Kantenl¨ angen ≤ r und G= Wi . i∈N Beweis. F¨ ur k ∈ N sei Wk = W ((x1 , . . , xn ), r 2k+1 ) xi = (2mi + 1)r mit mi ∈ Z 2k+1 . Die W¨ urfel aus Wk bilden dann eine Zerlegung des Rn in fast-disjunkte W¨ urfel der Kantenl¨ange 2rk , und ˜ ∈ Wk mit zu jedem W ∈ Wk+1 gibt es ein W ˜ .

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Analysis III [Lecture notes] by Dirk Ferus

by Kenneth

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